Механика галилеевого пространства

  (разработка нового языка механики)

В.М.Юровицкий, Институт физико-технической информатики, Москва

В конце XIX происходило бурное создание новых языков механики. Разработанные Лагранжем, Якоби, Рауссом, Пуанкаре языки не отвергали ньютоновский, но открывали перед механикой новые возможности. В ХХ веке  этот процесс исчерпался, и ни одного нового языка механики не было создано. В настоящей работе продолжена традиция создания новых языков механики. Разработана механика движения элементарных механических объектов в однородном и изотропном (галилеевом) пространстве в жестких (ньютоновских) инерциальных и неинерциальных (даламберовых) системах отсчета. В качестве фундаментальной динамической институции используется понятие состояния механического объекта с характеристикой весомости. Выводятся уравнения даламберова поля и уравнения движения в даламберовом поле. Разработана новая технология описания движений ─ технология переменных систем отсчета. Приводятся примеры использования нового языка механики.

Виды пространств и механических объектов

Однородное и изотропное пространство механических событий будем называть галилеевым пространством.

Неоднородные и неизотропные пространства будем называть негалилеевыми пространствами.

Данная работа посвящена описанию галилеевых пространств и механических событий в них.

Введем понятие дополнительное к понятию пространства ─ механический объект. Механический объект погружен в механическое пространство. Механика исследует состояние и движение механических объектов в пространстве.

Введем понятие элементарного механического объекта. Под таковым будем понимать механический объект, размеры которого существенно меньше пространственных размеров, в которых рассматривается его движение. Используемое ранее понятие «материальная точка» устарело, так как трудно назвать материальной точкой фотон, или целую галактику, которые также могут рассматриваться в качестве элементарных механических объектов. К тому же точка в геометрии есть элемент множества, не имеющий собственных имманентных характеристик, а элементарные объекты могут обладать различными собственными механическими характеристиками.

Механические объекты, не являющиеся элементарными, но обладающие определенными границами, будем называть механическими телами или просто телами. Тело в механике допускает разложение на элементарные механические объекты.

Средой будем называть механический объект, границы которого в данном рассмотрении не определены. Среда также может быть подразделена на элементарные механические объекты.

Введем также неопределяемое понятие абсолютно твердого тела. Тела, не являющиеся абсолютно твердыми, назовем деформируемыми. Аналогично можно вести и понятие абсолютно твердой среды.

Взаимодействие элементарных тел

Введем понятие свободного элементарного механического объекта. Остальные механические объекты будем называть несвободными. Одиночного несвободного механического объекта не существует. Несвобода определяется взаимодействием механического объекта с другими  объектами ─ элементарными механическими объектами, телами или средами.

В ньютоновском подходе [1] к описанию механических явлений в качестве фундаментального понятия, описывающего взаимодействие, используется понятие силы.

Создавая механику, в которой в качестве приоритетных задач ставятся задачи космонавтики и мегамеханики, в которых силы зачастую не наблюдаемы и не измеримы, мы уклоняемся от этого подхода и в качестве фундаментальной характеристики несвободы тела используем понятие весомости. Весомость V есть характеристика механического состояния тела и является векторной величиной, приложенной к самому телу или элементарному механическому объекту. Про тело с нулевой весомостью будем говорить как о теле, находящимся в невесомом состоянии, если весомость отлична от нуля ─ то в весомом механическом состоянии. Свободное тело находится в состоянии нулевой весомости.

Между весомостью и силой существует простое соотношение:

В терминах силы весомость есть всего лишь удельная сила, т.е. сила на единицу массы (с измененным направлением действия). Отметим, что введенная в данном отношении масса пока является неопределенным понятием, определение этого понятия мы дадим в механике негалилеевых пространств.

Единица весомости в СИ есть Н/кг, каковую величину уже принято в гравиметрии называть Галилео, сокращенно, Гл.

Примеры весомых и невесомых состояний. Невесомые состояния имеем на космической орбите, при падении камня (без учета сопротивления воздуха) и т.д. Покоящиеся на Земле тела находятся в весомом состоянии с весомостью 9.81 Гл. На других небесных телах весомость другая. С весомостью до 40 и более Гл приходится сталкиваться летчикам при выполнении фигур высшего пилотажа, космонавтам на участке вывода. С пониженными и повышенными значениями весомости приходится сталкиваться при поездке на лифте. С колебаниями весомости по величине и направлению сталкиваемся при плавании на корабле, особенно в штормовую погоду. Наконец, парк аттракционов является настоящим парадом состояний с различными весомостями и их изменениями.

Весомость является легко измеримой характеристикой. Приборы, известные как акселерометры и гравиметры, являются на самом деле весомометрами. Весомометрическим измерителем снабжен человек и все животные, который расположен в его внутреннем ухе.

Заметим, что измерителем силы являются человеческие мышцы. Таким образом, разность между ньютоновским подходом и предлагаемым состоит в том, на каком человеческом измерителе основывать механику ─ на мышцах или вестибулярном аппарате. Ясно, что во времена Ньютона, когда человек занимался тяжелым трудом, испытывал постоянно большие мышечные нагрузки, как в мирной жизни, так и на войне, приоритет за мышечными ощущениями был вполне адекватен. Весомостные ощущения были у большей части людей однообразны (исключение составляли моряки). Но в наше время весомостные ощущения стали значительно разнообразнее ─ спорт, развлечения, лифт, транспорт, космонавтика ─ и затрагивают куда большее количество людей, а мышечные ощущения существенно обеднились. Таким образом, даже абстрактная наука зачастую имеет антропологические корни, и механика неживой природы оказывается связанной с биофизикой человека.

Системы отсчета

Для возможности описания механических событий необходимо иметь систему отсчета.

Система отсчета представляет из себя некоторую среду, расчлененную на элементарные объекты, и временная последовательность пересечения с которыми наблюдаемого элементарного механического объекта или элементарных объектов наблюдаемого тела и создает механическое событие. Система отсчета не взаимодействует с телами или механическими объектами, она абсолютно прозрачна и потому представляет собою, конечно, некоторую абстракцию.

Систему отсчета, основанную на абсолютно твердой среде, назовем ньютоновской системой отсчета. Остальные системы отсчета будем называть неньютоновскими. Неньютоновсие системы отсчета используются, к примеру, в реологии или в общей теории относительности.

Инерциальной системой отсчета назовем такую ньютоновскую систему отсчета, между элементами  которой нет взаимодействия. Другими словами, все элементы ее находятся в состоянии невесомости. В галилеевом пространстве инерциальную систему можно ввести всегда.

Ньютоновскую систему отсчета, не являющуюся инерциальной, будем называть даламберовой системой отсчета [2]. Между элементами даламберовой системы отсчета имеется взаимодействие, а элементы ее являются весомыми.

На системе отсчета создается геометрическая система координат, которая дает числовое описание элементарным объектам системы отсчета. Геометрия системы координат на ньютоновской системе отсчета трехмерна и эвклидова. Используются различные системы координат ─ прямоугольные, полярные, сферические и т.д.

Инерциальная система отсчета 

Инерциальная система отсчета не обладает никакими собственными характеристиками.

В инерциальной система отсчета имеет место первый закон Ньютона: свободные тела покоятся или движутся равномерно и прямолинейно.

Для несвободных элементарных механических объектов имеет место модернизированный второй закон Ньютона:

где w ─ ускорение механического объекта, V ─ его весомость.

Даламберова система отсчета

Даламберова (неинерциальная) система отсчета может иметь два описания ─ интегральное и полевое.

Даламберова система отсчета однозначно определяется двумя характеристиками: угловой скоростью вращения системы отсчета W и весомостью начала системы отсчета V0.

Полевое  описание определяется весомостью всех элементов системы отсчета как абсолютно-жесткой среды, которую будем обозначать D=D(r). Весомости элементов даламберовой системы отсчета будем называть напряженностями даламберова поля. Между интегральным и полевым описанием существует однозначная связь.

Для определения полевого описания даламберовой системы отсчета запишем известное из классической механики выражение для так называемого абсолютного ускорения элементов абсолютно твердого тела (среды):

 

Здесь w ─ ускорение произвольного элемента абсолютно твердой среды в инерциальной системе отсчета, w0 ─ ускорение начального элемента этой среды, r ─ радиус-вектор произвольного элемента среды.

Но согласно второму закону Ньютона в выражении (2)

Подставляя (4) в уравнение (3), получаем полевое описание даламберовой системы отсчета:

Для получения дифференциальных уравнений полевых уравнений даламберовой системы отсчета подвергнем уравнение (5) дивергентному и вихревому дифференцированию. Тогда получаем дифференциальные уравнения даламберовой системы отсчета:

Система определяется начальными условиями. В этом коренном отличии полевых уравнений даламберова поля от уравнений электромагнитного, последние определяются граничными условиями.

Уравнение движения элементарного механического объекта в даламберовой системе отсчета

Определим теперь уравнения движения элементарного механического объекта в даламберовой системе отсчета.

Для этого опять воспользуемся уже решенной в классической механике задачей о так называемом абсолютном ускорении в неинерциальной системе отсчета (уравнением Кориолиса).

Пусть имеем некоторое ЭМО, находящееся в весомом состоянии с весомостью V. Рассмотрим его движение в инерциальной системе 1 и в неинерциальной (даламберовой) системе отсчета 2. Тогда согласно уравнению Кориолиса [3] имеем:

Здесь w1 есть ускорение в инерциальной системе отсчета, которое, согласно второму закону Ньютона, равно весомости наблюдаемого объекта, взятой с обратным знаком –V. w21 есть ускорение в инерциальной системе отсчета элемента даламберовой системы отсчета, с которой в данный момент совмещен наблюдаемый объект. Вновь согласно второму закону Ньютона это есть весомость –D элемента среды, т.е. напряженность даламберова поля. Наконец, w2 и v2 есть ускорение и скорость наблюдаемого тела в неинерциальной (даламберовой) системе отсчета. Отсюда получаем окончательно уравнение движения ЭМО в даламберовой системе отсчета:

Важной особенность уравнений движения в предлагаемом подходе состоит в том, что в них не входят никакие имманентные характеристики наблюдаемого механического объекта в явном виде.

Уравнение взаимодействия

Как уже было сказано, не существует одиночного весомостного тела. Весомость есть результат взаимодействия между данным механическим объектом и другим механическим объектом или средой.

Если мы рассмотрим взаимодействие двух объектов 1 и 2, то взаимодействие между ними подчиняется третьему закону Ньютона:

Здесь F12 ─ сила, приложенная к объекту 1 со стороны объекта 2 и  F21, соответственно, наоборот.

Итак, механика элементарных механических объектов в галилеевом пространстве в ньютоновской системе отсчета построена полностью.

Новая технология описания движения

В существующей механике используется, как правило, следующая «технология» описания в галилеевом пространстве. Вводится наиболее простая система отсчета, как правило, инерциальная, и в ней записываются уравнения движения, имеющие наиболее простой вид. Но за этой простотой таится, зачастую, большая сложность решения задачи. Ведь для каждого исследуемого объекта необходимо написать три уравнения ранга 2. Например, при трех телах мы имеем систему из девяти дифференциальных уравнений ранга 18. Конечно, существуют интегралы движения, которые позволяют уменьшить количество уравнений и ранг системы. И тем ни менее, количество уравнений и ранг системы оказываются, как правило, большими. Кроме того, результаты решения этой системы, как правило, не являются наблюдаемыми и наблюдаемые величины приходится из этих решений еще извлекать, что еще больше увеличивает сложности.

Разработанная нами технология описания движения позволяет сразу же писать уравнения движения в значительно меньшем количестве и существенно более низкого ранга, а результаты, как правило, являются наблюдаемыми. Правда, за это приходится расплачиваться гораздо большей сложностью самих исходных уравнений. Но при компьютерных расчетах необходимые ресурсы куда существеннее зависят от количества уравнений и их ранга, чем от сложности самих уравнений.

Этот метод нами назван методом переменных систем отсчета. Метод состоит в том, что выбирается система отсчета наиболее адекватная самим процессам, при этом параметры этой системы отсчета определяются в самом процессе решения задачи.

Приведем примеры. При наблюдении одного тела начало системы отсчета совмещаем с этим телом. В результате получаем задачу размерности 0.

При двух телах с одним телом совмещаем начало системы отсчета, а ось Ох направляем на второе тело. Получаем одномерную задачу с параметрами системы отсчета, которые определяются в процессе решения.

При трех телах с первым телом совмещаем начало системы отсчета, ось Ох направляем на второе тело, а плоскость хОу выбираем так, чтобы третье тело находилось постоянно в этой плоскости. Получаем одно одномерное и одно двухмерное движение в системе отсчета с характеристиками, определяемыми в процессе решения задачи. При решении задачи четырех тел имеем уже одно одномерное, одно двумерное и одно трехмерное движение. Как видим, размерность системы становится гораздо меньше.  Для того, чтобы получить результаты наблюдаемыми, в качестве первого тела выгодно использовать тело, с которым связан наблюдатель.

Использования этой технологии непосредственно связано с теорией даламберовых систем отсчета.

Уравнение движения в компонентах

Приведем полную систему уравнений движения в компонентах:

 

Остальные уравнения получаются циклической перестановкой.

Решим несколько простейших, но важных для практики задач, которые продемонстрируют возможности нового языка и новых технологий механики.

Задача о локации

Рассмотрим задачу двух невзаимодействующих тел в галилеевом пространстве.

С точки зрения ньютоновского подхода оба тела движутся равномерно и прямолинейно и больше сказать нечего. Но новая механика открывает в этой простейшей задаче глубины и практическую значимость.

Примем тело 1 в качестве начала системы отсчета. На тело 2 направим ось Ох. Имеем одномерное движение во вращающейся системе отсчета. Ось вращения направим по оси Oz. Начальное значение напряженности даламберова поля и весомость наблюдаемого тела равны нулю. Вдоль оси O   имеем движение. Вдоль оси Оу имеем равновесие компонент даламберова поля, вдоль оси Oz нет ни движений, ни компонент поля. Тогда имеем уравнения движения:

Из второго уравнения сразу следует соотношение (закон площадей):

 

За начальный момент мы выбрали время наибольшего сближения тел. Скорость тела

Подставляя (12) в (11), получаем:

Изменение угла поворота:

Полное изменение угла равно 180о.

Легко видеть, что имеем практически важную задачу о работе локатора. При этом мы сразу же получаем наблюдательные данные ─ расстояния, углы поворота и скорость вращения антенны. Легко определить и скорость цели.

Стоит отметить, что в качестве наблюдаемого объекта мы можем представить и фотон или, если угодно, его кинематического двойника ─ ультрарелятивистский массовый объект. И скорость света в даламберовой (неинерциальной) системе отсчета отнюдь не постоянна, а даже может обращаться в нуль. 

Задача о росцилляторе

Под росциллятором будем понимать ротатор-осциллятор, т.е. осциллятор, который не фиксирован в пространстве, а может совершать произвольные движения.

Рассмотрим простейший двухчастичный росциллятор виде двухатомной молекулы. Причем для начала примем, что одна из молекул имеет существенно большую массу, чем другая.

Большую массу совместим с наблюдателем. Поэтому начало отсчета неподвижно. Введем одномерную систему отсчета Ох, вдоль которой находится ось осциллятора. Упругая сила F=-kx и направлена к центру. Отсюда весомость осциллирующего тела равна

Вектор углового вращения направим вдоль очи Oz. Имеем вновь одномерную задачу. Отсюда полная система уравнений двухчастичного росциллятора будет:

Мы могли бы взять за начало отсчета и легкую частицу. Тогда весомость наблюдаемой частицы V была бы равна нулю. Но теперь весомость начала отсчета D0 стала бы равной весомости второй частицы в первом случае с обратным знаком. Но так как начальная весомость системы отсчета и весомость наблюдаемого тела входят с разными знаками, то в результате мы пришли бы к той же самой системе уравнений (16). Это демонстрирует гибкость предлагаемого подхода.

При W=w0 имеем вырожденный случай, росциллятор превращается в жесткую систему, вращательные и колебательные степени свободы вырождаются, фактически, он приобретает свойства одноатомной частицы и может иметь только поступательные перемещения. Можно допустить, что полосы прозрачности в молекулярных спектрах поглощения связаны с вырождением осцилляционно-ротационных степеней свободы. Это состояние можно, видимо, назвать «антирезонансом».

Общее решение системы несложно и получаем окончательно:

Здесь x0 и W0 ─ максимальное и минимальное значения амплитуды колебаний и скорости вращения.

Модель ротатора-осциллятора настолько простая, наглядная и важная механическая модель, что автор был уверен, что она уже рассматривалась в механике и должна была бы войти в самые элементарные учебники механики. Однако поиски дали только одно близкое и чисто формальное рассмотрение без всякого физического анализа [4]. Думается, это наглядный пример того, что механика, более обще, наука решает не те задачи, должны решаться, а те, которые она может поставить в рамках используемого языка. Ньютоновский язык вполне может решить эту задачу, но он не смог ее поставить. И это показывает важность создания новых языков, ибо они расширяют не только круг решаемых, а прежде всего круг ставящихся задач.

Не представляет труда обобщить это решение на частицы со сравнимой массы. Пусть m0 ─ центральное тело системы отсчета, m ─ масса наблюдаемого тела. Сила F=kx, действующая между частицами, создает у частиц весомые состояния с весомостями

 

Но V0=D0, т.е. начальному значению напряженности даламберова поля. Отсюда первое уравнение запишется в виде:

Остальное как в предыдущем случае.

Трехчастичный росциллятор. Вы берем одну из частиц с массой m0 за начало отсчета, на вторую с массой m1 направим ось Ох, третья частица с массой m2 будет находиться постоянно в плоскости хОу. Ось вращения направим вдоль оси Оz.

Тогда получаем систему уравнений:

Получаем четыре уравнения ранга 7.

Мы не будем детально исследовать систему. Общего точного решения не существует, но точные частные решения возможны.

Жесткая конфигурация. Рассмотрим существование антирезонансов у трехчастичного росциллятора. Уравнения имеют вид:

Здесь требуется простой геометрический анализ, который мы представляем читателю. Возможны как линейные, так и плоские жесткие конфигурации с различными взаимоотношениями сил, как притяжения, так и отталкивания.  Можно исследовать и многочастичные росцилляторы с числом частиц более трех. Мы получаем эффективный инструмент расчета многоатомных молекул в условиях взаимодействия колебательных и вращательных степеней свободы. Проблемы теплоемкости газов сводятся зачастую к этим проблемам.

Мы не будем больше приводить примеров использования нового языка и новой технологии в механике, так как главные преимущества этого подхода раскрываются в области мегамеханики. Но это уже область негалилеевых пространств, теория которых будет опубликована в следующей статье. Хотя и в макро и даже микромеханике, например, в теории машин и механизмов, в теории твердого тела, молекулярной механике (и физике) и других разделах этот подход может дать новые  результаты.

 

Литература:

1.      Isaak Newton. Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1779.

2.      Жан Лерон Д'Аламбер, Динамика, пер. с франц., М. - Л., 1950.

3.      Гюстав Гаспар Кориолис. Traite de la mecanique des corps solides et du calcul de l'effet des machines, 2 ed., P., 1844.

4.      Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, т. 1, Механика, М.: Наука, 1988, с.141.